人字行星齿轮以结构紧凑、高负载和精度著称,广泛应用于航空航天及工业领域。尽管渐开线齿应用广泛,仍存在滑动、低负载和接触强度不足等缺陷[1],制约传动性能与寿命。通过新型齿廓设计优化齿轮啮合性能,已成为提升行星齿轮系统效能的重要研究方向。
近年来,许多学者针对齿轮传动的齿廓设计和性能优化进行了深入研究。Chen等[2]开发了基于啮合线函数的非生成纯滚动内斜齿轮系统,采用圆弧与渐开线组合齿廓降低接触应力、弯曲应力和载荷传递误差。Gao等[3]提出圆弧与抛物线复合的点接触齿廓,通过几何理论推导齿面方程以克服渐开线齿形缺陷。袁新梅等[4]设计双圆弧齿廓椭圆齿轮,建立三维模型揭示偏心率对传动比的影响规律。姜碧琼等[5]构建凸凹齿廓圆柱齿轮数学模型,完成双/四圆弧齿廓三维建模与有限元分析。陈君辉等[6]研制外啮合双圆弧斜流道齿轮泵,通过数值模拟研究结构参数对泵性能的影响。
为深入探究人字行星齿轮的动力学行为和传动性能,Liu等[7]建立渐开线行星齿轮动态接触模型,模拟计算齿根动态弯曲应力。Yang等[8]提出含滑动摩擦的载荷分布模型,揭示摩擦系数与涂层厚度对应力分布的影响规律。Zhang等[9]研究线接触曲线圆柱齿轮的齿面接触特性,证实齿顶优化可消除边缘接触应力,发现最大弯曲应力集中于齿根两端。Jin等[10]通过有限元与正交试验建立接触/弯曲应力经验方程,并验证其有效性。Gonzalez-perez等[11]开发新型有限元模型分析齿轮应力,结合赫兹理论验证并探讨边界条件对接触压力的影响。He等[12]通过实验与数值模拟研究薄缘齿轮齿根裂纹扩展机制,采用ABAQUS实现裂纹扩展仿真并通过单齿弯曲试验验证。刘竹丽等[13]运用ANSYS模拟渗碳淬火齿轮残余压应力,分析其对弯曲强度与疲劳寿命的作用机理。
尽管已有研究在齿轮齿廓设计和性能优化方面取得了显著进展,但针对人字行星齿轮传动的接触应力分布不均、抗弯性能不足等问题,仍缺乏系统性的解决方案。本文旨在解决以下关键问题:设计一种新型人字行星齿轮传动结构,使其在接触应力分布和抗弯性能方面优于传统渐开线齿轮传动结构。基于上述问题,本文在前期理论研究基础上,提出了一种新型人字行星齿轮传动,主要啮合类型为凹齿廓(中心轮)-凸齿廓(行星轮)-凹齿廓(内齿圈)点接触形式,推导各构件齿廓方程和共轭齿面方程,构建不同接触形式的装配模型,分析同工况下不同人字行星齿轮传动的接触特性,为后续深入研究高性能人字行星齿轮传动奠定基础。
1 新型人字行星齿轮齿面设计
1.1 新型人字行星齿轮齿廓方程
所提新型人字行星齿轮主要由抛物线-圆弧-抛物线构型的齿轮副构成,由凸-凹齿廓接触形成点接触状态。凸齿圆弧齿廓由工作曲线H2H3、过渡圆弧曲线H1H2构成,如图1所示。
图1 凸齿圆弧齿廓图
Figure 1 Tooth profile of circular-arc convex tooth
以端面齿廓为坐标平面,点O为坐标点中心,齿廓对称线为Y轴,圆弧工作齿廓节线方向为X轴。O1(X1,Y2)为工作圆弧坐标中心点X1=1.54mn/2-ρacos φb,Y1=-ρasin φb,Oog(Xog,Yog)为过渡圆弧坐标中心点Xga=(ρa+ra)cos φa,Yga=ra-h2。凸齿圆弧齿廓几何关系、凸齿圆弧工作齿廓方程和凸齿圆弧过渡齿廓方程分别如式(1)、式(2)和式(3)所示。
(1)
(2)
(3)
式中:ρa为圆弧工作齿廓半径,mm;φ为圆弧工作齿廓角度参数,(°);ra为过渡齿廓半径,mm;ω为过渡齿廓角度参数,(°);l1为OgaO横轴距离,mm;l2为OO1横轴距离,mm;h2为过渡圆弧齿顶到X轴距离,mm;h3为啮合线到X轴纵向距离,mm。
如图2所示,凹齿抛物线齿廓由齿根倒角直线段J1J2、圆弧齿顶曲线段J3J4以及抛物线工作曲线段J2J3。O2(X2,Y2)为抛物线的焦点X2=ρfsin αf3-xf,Y2=-ρfcos αf3+cf,以端面齿廓为坐标平面,抛物线工作齿廓对称线为Y轴。列出凹齿抛物线工作齿廓间相互关系,即
(4)
图2 凹齿抛物线齿廓图
Figure 2 Tooth profile of the parabolic concave tooth
凹齿抛物线工作齿廓方程、凹齿抛物线过渡圆弧齿廓方程和凹齿抛物线过渡直线段齿廓方程分别为
(5)
(6)
(7)
式中:P为抛物线系数,P为常量;L为抛物线焦点与J2点横轴距离,mm;αf为抛物线工作齿廓角度参数;cf为O2O横轴距离;θe为抛物线齿顶过渡圆弧角度参数,(°);t为抛物线长度参数,mm;hk为啮合线到X轴纵向距离,mm;xf为抛物线焦点到X轴纵向距离,mm;γf为抛物线齿廓直线段J1J2与竖直方向夹角,(°);ρb为抛物线齿顶过渡圆弧齿廓半径,mm;l为从直线段J1J2上任意点到J2上的距离,mm。
1.2 新型人字行星齿轮齿面方程
对于这一新型齿廓,满足两齿廓在啮合传动时不能发生干涉。则当该曲线做螺旋运动形成具有曲线接触性质的啮合齿面[14]。图3为新型人字行星齿轮齿廓啮合图。
图3 新型人字行星齿轮齿廓啮合图
Figure 3 Tooth profile meshing diagram of the new herringbone planetary gear
根据微分几何原理[15],齿轮齿廓径向线和节圆柱的交点On,沿着节圆柱体螺旋线O1O′1做螺旋运动,即可形成齿轮齿面。如图4所示。
图4 新型人字行星齿轮螺旋运动坐标系
Figure 4 Coordinate system of tooth surface generation
建立Sn、St和Ss坐标系,其中Sn为齿轮齿廓法面坐标系(图中灰色坐标系);Ss为齿轮齿廓端面坐标系(图4中蓝色坐标系),St为齿轮节圆坐标系(图4中黄色坐标系)。在坐标系Sn中,xn轴通过齿廓径向线与节圆柱交点On,沿着螺旋线方向即为zn轴线方向,与螺旋线垂直方向的xnOnyn平面即为齿轮法向平面。法向平面中齿廓上任意点J的坐标为
(8)
式中:ρ为圆弧半径,mm;α齿廓端面坐标系与法面坐标系在y轴上夹角,(°);β为齿轮齿廓端面与法面两平面间夹角为齿轮螺旋角,(°)。在坐标系Ss中,xs轴通过On点,zs轴与圆柱中心线重合,ys轴与yn轴距离相差齿轮节圆半径r1值。通过坐标变换,J点在端面坐标系中的方程为
(9)
在St坐标系中,zt与圆柱中心轴线重合,xtOtyt平面与齿轮端面重合,Ss坐标系在St坐标系以旋转φ角做螺旋运动,并同时向前移动pφ值,即可形成螺旋齿面;将Ss坐标系中的齿廓参数方程,通过坐标变换转换到St中,取右旋为正,左旋为负,如式(10)所示。
(10)
式中:e1为齿廓圆心偏移量,mm;α为齿廓上任意点压力角,(°)。
推导出凸齿圆弧齿面方程为
(11)
凹齿抛物线齿面方程为
(12)
结合表1中新型人字行星齿轮主要参数,运用MATLAB软件编写代码,将上述齿轮齿面点云文件可视化,图5为两种齿轮的齿面点云图。
表1 新型人字行星齿轮主要参数
Table 1 Main parameters of the new herringbone planetary gear
参数齿数模数m/mm压力角α/(°)齿宽b/mm螺旋角β/(°)太阳轮403256035.9891行星轮233256035.9891内齿圈863256035.9891
图5 新型人字行星齿轮齿面
Figure 5 Tooth surfaces of novel herringbone planetary gear
2 模型构建与装配
2.1 三维模型构建
将计算绘制的新型人字行星齿轮齿面点云文件导入UG软件中,通过曲面缝合、拉伸、合并和布尔运算等操作[16],建立了凹齿抛物线太阳轮、凸齿圆弧行星轮和凹齿抛物线内齿圈,如图6所示。
图6 新型人字行星齿轮系统三维模型
Figure 6 Three-dimensional model of a new herringbone planetary gear system
2.2 3种传动人字行星齿轮模型装配
将建立的圆弧凸齿轮、抛物线凹齿轮、渐开线齿轮和传动轴承等三维模型通过UG装配体模块按照3种传动系统的设计进行装配,考虑新型人字行星齿轮系统啮合时因为精度原因容易出现干涉,通过调整新型人字行星齿轮齿面接触状态。利用UG运动学模块进行评估与干涉检查,确保新型人字行星齿轮啮合时不会出现干涉[17]。如图7所示,图7(a)所示的行星轮为圆弧凸齿廓,中心轮与内齿圈为抛物线凹齿廓的新型人字行星齿轮系统;图7(b)所示齿轮齿廓都为渐开线的标准渐开线人字行星齿轮系统;图7(c)所示内齿圈与太阳轮为渐开线齿廓,行星轮为圆弧凸齿廓的渐开线-圆弧人字行星齿轮系统。
图7 3种传动系统装配体
Figure 7 Three kinds of transmission system assemblies
3 仿真分析
3.1 有限元网格划分
传动系统的不同会导致接触迹线的不同[18],通过对齿轮进行有限元分析可以更清晰地了解3类传动系统的特点;在进行有限元分析前处理阶段,对齿轮中不重要的部分进行简化,既能保证齿轮的主要特征和结构完整,又能提高计算效率,简化后的模型能够满足本研究的分析要求[19]。对齿面接触区域进行局部平面网格细化,将齿轮传动系统分为16个区域,如图8所示。在Hypermesh中对齿轮区域分别进行网格划分,将接触面网格进行加密会提高仿真分析结果精度。图8(a)为新型人字行星齿轮网格模型;图8(b)为标准渐开线人字行星齿轮网格模型;图8(c)为渐开线-圆弧人字行星齿轮网格模型。
图8 3种传动系统网格划分
Figure 8 Three kinds of transmission system grid division
3.2 有限元接触分析设置
为深入研究3种传动系统的啮合特性,对有限元模型进行静态和动态载荷分析,新型人字行星齿轮传动系统中内齿圈固定,中心轮作为输入组件,行星架作为输出组件,行星轮在此过程中受到作用力并将负载传递给行星架。在仿真阶段,负载通过行星轮内侧施加。负载大小具体计算为
Ts=9 550Ps/ns。
(13)
式中:Ps为太阳轮的输入功率360 kW;ns为输入转速2 000 r/min;Ts为输入转矩计算得1 719 N·m。
行星齿轮系统的运动关系可用经典的Willis公式[20]表示为
ωc=ωsZr/(Zs+Zr)。
(14)
式中:ωc为行星架的角速度,rad/s;ωs为太阳轮的角速度,rad/s;Zs为太阳轮齿数;Zs为常量;Zr为内齿圈齿数,Zr为常量;则行星架转速约为1 250.2 r/min。
计算行星架输出扭矩,考虑系统在传递过程存在效率损耗,传输效率η=95%,输出功率为输入功率乘以效率,则
Pc=Psη;
(15)
Tc=9 550Pc/nc。
(16)
式中:Pc为输出功率,kW;Tc为输出转矩,N·m;nc为行星架转速,r/min。
计算每个行星轮承受的扭矩,即
Tp=Tc/Np。
(17)
式中:NP为行星轮个数,NP为常量;计算出行星轮的负载扭矩为870.8 N·m。
基于传动系统的实际工作条件进行边界条件设置:内齿圈被固定;太阳轮限制其在径向和轴向方向上的运动,允许其绕自身轴线旋转,即在绕轴方向上保留转动自由度;行星轮限制其在轴向方向上的运动,以防止轴向偏移。允许其绕自身轴线旋转,同时也允许其绕中心轮的公转自由度。在动态载荷分析中对中心轮与行星轮添加了几何体对地面的回转,对内齿圈外侧添加固定支撑,太阳轮内侧添加旋转速度、行星轮内侧添加力矩,同时注意旋转速度与转矩方向保持一致以确保动态载荷分析准确性[21]。动态载荷分析设置如图9所示。
图9 动态载荷分析设置
Figure 9 Dynamic load analysis settings
在静态载荷分析中添加内齿圈外侧的固定支撑,添加中心轮内侧的固定支撑,各个行星轮内侧的位移,施加各个行星轮内侧力矩并确保力矩方向保持一致,并设定齿面摩擦因数为0.2,静态载荷分析设置如图10所示。
图10 静态载荷分析设置
Figure 10 Static load analysis settings
关于齿轮材料的本构关系,本文在研究中已经充分考虑了齿轮材料40Cr的力学性能,其主要力学参数参照了GB/T 3077—2015《机械产品结构有限元力学分析通用规则》[22]和相关实验数据。假设材料各向同性,设定齿轮材料参数如表2所示。
表2 齿轮材料参数表
Table 2 Parameters of gear material
参数取值齿轮材料40Cr弹性模量/MPa2.07×105泊松比0.3拉伸屈服强度/MPa850抗拉极限强度/MPa1200
在仿真实验前,逐步细化网格,并进行详细的灵敏度分析,本文采用自适应网格技术。选取适当的网格密度来寻找精度和计算效率之间的最佳平衡点。网格密度是有限元模型中单元数量与体积的比值,其计算公式为
γ=N/V。
(18)
式中:γ为网格密度,γ为常量;N为有限元模型中单元数量,N为常量;V为有限元模型体积,mm3。为确保仿真条件的一致性,在静态仿真分析中在齿轮啮合点施加相同的力矩为10 000 N·mm,采用六面体网格以排除其他变量对结果的干扰,图11为不同网格密度对仿真结果的影响。
图11 网格密度对仿真结果的影响
Figure 11 Effect of mesh density on simulation results
网格密度与应力关系的收敛性曲线,如图12所示。从曲线图像的变化趋势可以看出,当网格密度从0.5增加到0.8时,应力值从350 MPa迅速上升至460 MPa,表明在此区间内仿真结果对网格密度的敏感性较高。当网格密度达到0.9时,应力值增加至480 MPa,随后曲线上升趋势逐渐放缓。在网格密度约为2.0之后,等效应力值趋于稳定,变化幅度很小。因此,为了保证仿真结果的精确性和可靠性,后续研究选择网格密度为2.1进行仿真分析。
图12 网格密度与应力关系的收敛性曲线
Figure 12 Convergence curve of the relationship between grid density and stress
在确定网格密度后,依据齿轮接触区域的几何特征和力学特性,对完整的齿轮模型进行了横向网格划分。通过有限元分析软件,提取了各模型的单元和节点数量。具体结果如下:新型人字行星齿轮模型有336 960个单元,1 672 032个节点;标准渐开线人字行星齿轮模型有335 930个单元,1 663 928个节点;渐开线-圆弧人字行星齿轮模型有342 080个单元,1 690 820个节点。
3.3 静-动态接触分析结果
按照上述部分有限元前处理完成后,计算得到3种传动系统静态等效应力、接触应力和弯曲应力。图13为3种传动系统的静态接触应力云图,新型人字行星齿轮系统展现出显著的接触性能优势,其最大等效应力值为522.79 MPa,相较于标准渐开线齿轮系统的612.03 MPa降低了14.6%。渐开线-圆弧齿轮传动系统因齿面曲率特性形成凸-凸接触副,接触区域呈局部点状分布,最大应力值介于上述两者之间。标准渐开线齿轮系统由于线接触特性使得应力集中现象最为显著,其弯曲应力峰值达到三者中的最高水平309.71 MPa。
图13 3种传动系统静态接触应力云图
Figure 13 Static contact stress nephogram of three kinds of transmission systems
在动态接触仿真分析中,考虑齿轮在实际运转过程中的动态行为,增加速度变换和瞬时载荷[23],对比静态和动态接触分析结果,有利于做出更加合理与可靠的结论。图14为3种传动系统动态接触应力云图。由图14可知,在动态接触仿真过程中,3种传动系统的接触方式并未发生改变,但新型人字行星齿轮最大等效应力值为668.52 MPa,相较于静态接触应力值提升了27.9%;标准渐开线齿轮最大等效应力值为885.08 MPa,相较于静态接触应力值提升了44.6%。该对比研究结果验证了新型人字行星齿轮在接触应力控制方面的结构优越性。
图14 3种传动系统动态接触应力云图
Figure 14 Dynamic contact stress nephogram of three kinds of transmission systems
将仿真数据整理统计,3种传动系统静-动态接触应力数据可视化后如图15所示。新型人字行星齿轮系统在静态接触中弯曲应力略大于标准渐开线齿轮传动系统,在动态接触中弯曲应力小于标准渐开线齿轮传动系统,出现这种现象的原因主要在于新型人字行星齿轮传动系统是点接触,齿轮系统需完成预设周期的磨合过程。圆弧-渐开线齿轮系统在动态接触中的弯曲应力最大,在于凸-凸传动的接触方式,会在齿根部分产生较大的弯曲应力。从图15的数据可以看出,在同工况下新型人字行星齿轮的接触状况明显优于另外两种传动形式,相较于标准渐开线齿轮传动系统,新型人字行星齿轮传动系统的等效应力降低24.5%,表明其结构应力分布显著优化。
图15 静-动态接触应力柱状图
Figure 15 Static-dynamic contact stress histogram
为验证仿真结果的准确性,基于赫兹接触理论公式[24],验证仿真数据合理性。
(19)
式中:b为齿宽,mm;ν为泊松比,ν为常量;E为弹性模量,MPa;Fn为法向力,N;ρe为等效曲率半径,mm。
代入表2的齿轮各参数,计算得出标准渐开线齿轮接触应力约为1 384 MPa,通过对比分析,理论计算的接触应力与仿真实验结果的相对误差为5.31%,表明两者具有高度一致性。该误差范围在工程允许的合理区间内,验证了仿真模型的准确性,能够较好地反映齿轮副的实际接触应力分布特性。
4 结论
本文考虑了齿轮齿廓对齿轮啮合特性的影响,提出了1种基于齿轮几何理论的新型人字行星齿轮传动系统,提高了齿轮接触强度,具体结论如下。
(1)基于齿轮啮合理论,利用圆弧与抛物线曲线的特殊性质,提出了包括抛物线凹太阳轮、圆弧凸行星轮和抛物线凹内齿圈在内的新型人字行星齿轮传动。利用几何关系进行齿轮齿廓设计,根据运动学推导出凸齿圆弧齿面方程、凹齿抛物线齿面方程;利用MATLAB数值计算齿轮齿面点云文件,结合NX UG软件完成新型人字行星齿轮传动三维模型建立。
(2)建立标准渐开线人字行星齿轮系统和渐开线-圆弧人字行星系统。通过网格灵敏度分析,确定网格密度为2.1,对3种传动系统进行精细化网格划分。利用ANSYS有限元分析软件,完成3种传动系统静-动态接触分析,探究在相同工况下3种传动系统啮合特性,分析比较得出:新型人字行星齿轮系统在静态和动态仿真下都表现出较低的等效应力和弯曲应力,表明其设计在受力分布和抗弯性能方面具有优势。此外,理论计算与仿真分析的接触应力误差为5.31%,验证了仿真模型的准确性和可靠性。
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