最后，基于系统哈密顿结构设计互联和阻尼配置哈密顿控制器与H∞控制器相结合的鲁棒哈密顿控制器，实现对电流的高精度鲁棒跟踪，并通过适当改进H∞的引入时机改善了初始控制输入过大的问题。与电驱动机械臂系统无模型自抗扰控制的仿真对比结果验证了所提控制方案的有效性，级联ESO与传统ESO相比，关节位置跟踪精度提升了0.003 rad，改进的鲁棒哈密顿控制器与哈密顿控制器相比关节位置跟踪精度提升了0.005 rad，电流跟踪精度显著提升，改进H∞的引入时机使初始控制输入显著降低。摘 要： 针对永磁同步电机驱动机械臂系统的位置跟踪问题提出了自抗扰控制与哈密顿控制相结合的鲁棒控制策略。首先，建立了考虑不确定性的电气子系统和机械子系统模型，依据独立关节控制思想将模型转化为单电机驱动单关节的端口哈密顿结构；其次，设计级联扩张状态观测器估计机械子系统的总扰动，设计控制律实现期望位置鲁棒跟踪的同时简单有效地获取到期望的q轴电流最后，基于系统哈密顿结构设计互联和阻尼配置哈密顿控制器与H∞控制器相结合的鲁棒哈密顿控制器，实现对电流的高精度鲁棒跟踪，并通过适当改进H∞的引入时机改善了初始控制输入过大的问题。与电驱动机械臂系统无模型自抗扰控制的仿真对比结果验证了所提控制方案的有效性，级联ESO与传统ESO相比，关节位置跟踪精度提升了0.003 rad，改进的鲁棒哈密顿控制器与哈密顿控制器相比关节位置跟踪精度提升了0.005 rad，电流跟踪精度显著提升，改进H∞的引入时机使初始控制输入显著降低。
高精度的关节位置跟踪是机器人领域的基本需求。为了降低位置跟踪控制器的设计难度，执行器的动态模型往往被忽略。然而忽略掉执行器的动态，闭环系统的性能可能会降低，甚至不稳定[1]。永磁同步电机(permanent magnet synchronous motors，PMSM)具有转矩体积比大、精度高、调速范围宽等优点[2-4]，是机器人系统的常用执行装置。
电驱动机械臂的跟踪控制包括位置跟踪[5-6]以及电流跟踪[7]。徐旭等[8]设计了位置协调控制器和反步法电流控制器，但没有考虑系统不确定性的影响。Xue等[9]设计了改进的模糊反步法位置控制器，但是没有考虑电机动态的参数变化及其扰动。Khorashadizadeh等[10]设计了自适应模糊控制器对总的不确定性进行估计和补偿。Keighobadi等[11]和Saleki等[12]针对永磁直流电机驱动机械臂系统的轨迹跟踪，利用机械臂是电机的负载这个事实，把机械臂动态转换到电气动态，分别设计了自适应鲁棒反步法控制器和无模型自抗扰控制器(active disturbance rejection control，ADRC)。
Ortega等[13]提出的互联和阻尼配置(interconnections and damping assignment，IDA)由于具有物理意义明确、易于设计的优点，被广泛用于哈密顿系统控制设计，此外利用了哈密顿系统的结构和能量特性，便于进行闭环系统稳定性分析和H∞控制器设计[3]。但是该方法依赖于系统模型，所设计的鲁棒控制器具有一定的保守性。Han[14]提出的ADRC对模型的依赖程度低，可同时提高系统的抗扰性能和跟踪控制精度，得以广泛应用。Han等[7]和金宁治等[15]将ADRC与IDA相结合，取得了很好的控制效果。但由于控制增益的不确定性也归入到总扰动中会导致总扰动的估计出现误差，从而使ADRC控制性能降低[16]，对此一些学者在ADRC中引入滑模控制[17]和改进扩张状态观测器结构[18](extended state observer，ESO)处理剩余的扰动观测误差。
本文针对带有不确定性的PMSM驱动刚性机械臂的位置跟踪问题，首先，建立带有不确定性的电驱动机械臂的机械和电气数学模型，依据独立关节控制思想，将关节间的耦合项看作干扰，将n个自由度的机械臂系统视为n个独立系统，建立单电机驱动单关节的端口哈密顿结构；其次，设计级联ESO位置控制器，简单有效地获取到了期望的q轴电流
最后，设计IDA与H∞相结合的鲁棒IDA控制器实现关节末端位置跟踪和电流跟踪，并改进了H∞控制引入的时机，改善了初始控制输入大的问题。
考虑n个PMSM驱动n个关节的机器人系统，假定机械系统是刚性的，每一个连杆由一个PMSM通过齿轮驱动。带有不确定性的第i个关节和电机的机械方程可描述为[11,13,19]
(1)
(2)
式中：Qi、θi分别为第i个关节和电机转子的位置，rad；Mij、Cij 、Gi、Fi、τLi、τMi、τexti分别为惯性矩阵元素、哥式力和离心力矩阵元素、重力矩矩阵元素、关节摩擦力矩矩阵元素、负载转矩矩阵元素、电磁转矩矩阵元素、外部扰动向量的元素；Ji、Bi分别为电机的惯性矩阵的元素和阻尼矩阵的元素；ki为齿轮减速比系数。
假定传动装置是刚性的，没有间隙，转子位置θi和关节位置Qi存在线性关系Qi=kiθi，将式(2)代入到式(1)得
(3)
式中：
为机械子系统参数变化、外部扰动、摩擦、关节耦合混在一起的总扰动，可由式(4)求得
kiΔGi-kiFi+kiτexti-
(4)
第i个PMSM的电磁转矩和电气动态为[2-4,7]
(5)
式中：Ldi、Lqi分别为 d、q轴标称电感系数，H；Ri为标称定子电阻，Ω；np为磁极对数；
为标称永磁体磁链，Wb；Idi、Iqi分别为d、q轴定子电流，A；udi、uqi为d、q轴定子电压，V。
把式(3)代入到式(5)的电磁转矩方程中，并令fmi=npΔφiIqi+np(ΔLdi-ΔLqi)IdiIqi，fdi=ΔRiIdi-
则式(5)可转换为
(6)
式(6)的状态向量、输入向量、输出向量和扰动向量定义为
(7)
式(6)的哈密顿函数选择为
(8)
则式(6)的端口受控耗散哈密顿结构为
(9)
式中：J(xi)为互联矩阵；R为阻尼矩阵；g、g1分别为控制输入和扰动输入矩阵，分别为
式中：
本文目标是通过设计鲁棒控制器来实现带有不确定性的PMSM驱动机械臂系统的末端位置高精度跟踪。位置跟踪的核心在于电流的准确跟踪。本文的思路是先设计级联ESO位置控制器得到期望电流
然后设计鲁棒IDA控制器来实现关节位置、电机电流跟踪，并改善初始控制输入大的问题。
根据式(6)中的机械方程，定义新的控制输入
整理可得
(10)
式中：
为机械子系统的总扰动，表示为
fmi+τdisi)。
(11)
式(10)状态向量和输入向量定义为
(12)
式(10)的扩张状态空间模型为
(13)
第1个ESO设计为
(14)
式中：
为对状态zi的重构；β1i、β2i、β3i为观测器增益；
由于控制增益相关的不确定性也归到了总扰动中，因此不是对总扰动Fmi的完全估计。
第2个ESO的状态定义为si=[s1i s2i s3i]T，s1i和s2i分别追踪z1i和
表示剩余的扰动误差，利用第1个ESO估计的
第2个ESO设计为
(15)
式中：α1i、α2i、α3i为观测器增益。
根据极点配置，两个ESO的观测器增益可选择为
(16)
综合和
控制律设计为
(17)
式中：KPi>0，KDi>0，KPi、KDi分别为比例增益和微分增益；由于期望的轨迹是光滑可导的，所以
是可知的。
平衡点
得到后，针对式(9)，令ui=u1i+u2i，其中u1i为没有扰动时的IDA控制器，u2i为针对扰动的H∞控制器。
当不考虑扰动时，期望的哈密顿函数选择为
(18)
状态误差定义为
将
代入到式(9)可得
(19)
式中：
；
期望的状态误差闭环哈密顿结构设计为
(20)
式中：
为期望的互联矩阵；Rdes为期望的耗散矩阵。
为注入的互联矩阵，Rdes=R+Ra，Ra为注入的耗散矩阵，分别表示为
令式(19)和式(20)相等，计算可得u1i为
(21)
考虑扰动，式(21)代入到式(9)可得
(22)
式(22)的H∞控制问题[3]可描述为：设计u2i，使得哈密顿-雅克比不等式恒成立，即
gu2i}+
(23)
则fi到
的L2增益小于给定的扰动抑制水平γ，即
(24)
根据式(23)，如果
正定，则H∞控制律可选择为
(25)
因此鲁棒IDA控制器为
(26)
由式(26)可知，在IDA上加入H∞控制电流误差
的比例增益从r2i增大到r2i+0.5(1+1/γ2)。考虑到开始时电流误差很大，如果直接引入H∞控制，会导致初始控制输入特别大。为了改善初始控制输入大的问题，依据大误差小增益、小误差大增益的原则改进了H∞控制引入的时机。即电流误差绝对值过大时只采用IDA控制,这样即使开始时电流误差大，由于给定的增益小，初始控制电压也不会很大；电流误差绝对值小于设定值时，再在IDA上引入H∞控制，这样改进的鲁棒IDA控制器为
(27)
式中：εi>0为变增益所选择的设定值。
本文的控制结构是先设计级联ESO位置控制器得到然后设计改进的鲁棒IDA控制器实现位置、电流的高精度鲁棒跟踪。因此整体系统的稳定性需要先保证
能使关节位置实现渐近跟踪，然后在整体系统没有扰动时证明IDA控制的渐近稳定，最后在扰动存在时保证从扰动fi到输出
的L2增益小于给定的扰动抑制水平γ。
位置跟踪误差定义为esi=Qi-Qides，将式(17)代入到式(10)，整理可得
(28)
式中：
均为观测器误差。
令
根据两个观测器的误差系统，则式(28)的状态空间表达式为
(29)
根据计算，式(29)系统矩阵的特征值小于0，因此式(29)系统是渐近稳定的。根据极点配置，比例、积分增益分别为
为闭环系统带宽。
不考虑扰动时，控制律为ui=u1i，闭环系统的李雅普诺夫函数设计为
其导数为
(30)
若
则
根据LaSalle不变集原理，如果集合
是包含在集合
内的最大不变集，则式(9)系统在平衡点
处是渐近稳定的。
考虑扰动，当引入H∞时，ui=u1i+u2i，能使式(23)成立，因此从fi到输出
的L2增益小于γ。
利用MATLAB/Simulink搭建仿真系统，以2个PMSM驱动两关节系统为例进行仿真验证。本文采用文献[5]使用的机械臂模型和参数值，
电机参数为R1=R2=0.338 Ω，Ld1=Ld2=Lq1=Lq2=1.515×10-3 H，np=4，φf1=φf2=0.072 87 Wb，J1=J2=0.001 11 kg·m3，r1=r2=0.01。初始位置、速度均为0，期望轨迹为Q1 des=0.1sin 3t+0.5cos 3t，Q2 des=0.1sin 4t+0.5cos 4t，τext=[30sin 3t 30sin 3t]T，系统参数在50%内变化。第i个PMSM驱动第i个关节的仿真结构如图1所示，图1中的uαi、uβi、Iαi、Iβi分别为αβ坐标系下的电压和电流，uai、ubi、uci、Iai、Ibi、Ici分别为abc坐标系下的电压和电流。
图1 电驱动机械臂系统的控制结构图
Figure 1 Control structure diagram of electrically driven manipulator system
首先，在依据机械子系统方程得到
的过程中，先对级联ESO与传统ESO比较，控制器参数选择为KP1=KP2=100，KD1=KD2=20，ω0=100，ω1=300，r1=r2=1，j2i=0，γ=0.1。关节位置跟踪误差对比如图2所示。可以看出，由于传统ESO估计的总扰动有误差，因此传统ESO的关节位置跟踪精度相对较低，而级联ESO估计了机械子系统的剩余总扰动，位置跟踪精度更高。级联ESO与传统ESO相比位置跟踪精度提升了0.003 rad。
图2 级联ESO与传统ESO的位置跟踪误差对比
Figure 2 Position tracking error comparison between cascaded ESO and traditional ESO
其次，对改进的鲁棒IDA控制与IDA控制进行比较，关节位置跟踪和电流跟踪对比如图3和图4所示。可以看出，即使采用了级联ESO，IDA控制的位置跟踪精度仍相对较低，说明即使机械子系统有很强的鲁棒性，电气子系统的不确定性仍能影响到位置跟踪性能；而改进的鲁棒IDA控制有效抑制了电气子系统的不确定性，从而保证了位置、电流的高稳态跟踪精度。改进的鲁棒控制器与哈密顿控制器相比，关节位置跟踪精度提升了0.005 rad，电流跟踪精度也显著提升。
图3 改进的鲁棒IDA与IDA的位置跟踪误差对比
Figure 3 Position tracking error comparison between improved robust IDA and IDA
图4 改进的鲁棒IDA与IDA的电流跟踪误差对比
Figure 4 Current tracking error comparison between improved robust IDA and IDA
再次，将改进的鲁棒IDA控制与鲁棒IDA控制进行控制电压对比，如图5所示。可以看出,直接在IDA上引入H∞，初始控制电压特别大；若改进H∞引入的时机，可以极大地改善初始控制电压大的问题。
图5 改进的鲁棒IDA与鲁棒IDA的电压对比
Figure 5 Voltage comparison between improved robust IDA and robust IDA
最后，将本文提出的控制算法与ADRC控制器[12]进行关节位置跟踪，误差对比如图6所示。可以看出，本文提出的控制算法具有更高的位置跟踪精度。本文采用的级联ESO位置控制器在机械、电气不确定性存在的情况下能准确地计算出
图6 本文算法与电驱动ADRC的位置跟踪误差对比
Figure 6 Position tracking error comparison between proposed controller and electric driven ADRC control
针对带有不确定性的PMSM驱动刚性机械臂的轨迹跟踪问题，提出了自抗扰控制与鲁棒哈密顿控制相结合的控制策略。通过级联ESO位置控制器补偿机械子系统剩余总扰动，从而提升关节位置跟踪精度，并得到了系统平衡点得到后，设计IDA与H∞结合的鲁棒哈密顿控制器保证位置和电流的鲁棒跟踪，同时改进了H∞控制引入的时机，改善了初始控制输入过大的问题。本文设计的控制算法无须速度测量，计算量小、稳态精度高、鲁棒性强。在未来的研究中，将考虑测量噪声的抑制问题，并将学习算法用于控制增益的调节。
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