0 引言
齿轮由于其结构简单、传动平稳等优点而被广泛应用于工程机械中[1]。齿轮的传动是通过与轴的配合实现的。其中，轴-齿轮过盈配合因其结构简单、承载能力大、对中性好、抗冲击性强等优点而被普遍用于传动精度高、低振动的设备中[2-3]。国内外学者针对过盈配合进行了大量的研究，目前针对轴-齿轮过盈配合的研究主要集中在结合面的应力分布状态的计算方法[4-9]、过盈量的确定[10-12]和过盈配合对轴、齿轮疲劳寿命及磨损的影响[13-15]等方面，所采用的方法大多为有限元法，研究的重点为轴-齿轮过盈配合接触面处的变形和应力。
然而，过盈装配的实质是在装配结合面发生弹性变形，这种变形不仅可以影响到装配结合面，还会影响到齿轮的齿形。过盈配合后齿形的变化会对齿轮副侧隙、啮合线、接触应力等产生影响，而以上参数的变化又会导致齿轮的传递特性和疲劳寿命发生改变。随着齿轮传动系统高速化的发展，齿形变化带来的影响越来越明显。因此,有必要建立轴-齿轮过盈装配后齿形变化的精确计算模型。
综上分析,笔者拟基于渐开线方程和弹性力学中的拉美公式，研究轴-齿轮过盈装配的齿形变化规律，并通过MATLAB编写了过盈配合装配应力应变计算系统，准确获得齿形上任意位置的变形，为齿轮过盈装配后齿形计算提供精确模型。
1 理论基础
1.1 齿轮与轴过盈装配的应力、位移理论计算
轴-齿轮过盈配合面可简化为图1，其中轴径为2Ra,齿轮齿顶圆直径为2Rt,过盈配合产生的内应力为p。
图1 轴-齿轮过盈简化模型
Figure 1 The theoretical model of peg-in-hole
齿轮应力分量与位移为[11]：
(1)
式中：σr为径向应力;σθ为周向应力。
(2)
同理可得轴任意位置处的径向位移[11]：
(3)
式中：μ为材料的泊松比;E为弹性模量;R为接触半径到齿顶圆直径之间的任意半径。
1.2 轴-齿轮过盈量的确定
由于过盈量的存在，轴在过盈装配后受到压力从而在表面产生压应力，而此时齿轮与轴的配合孔会产生拉应力，这会使轴与齿轮内孔径产生径向位移，总的位移为[11]：
Δ=u1+u2，
(4)
式中：u1、u2分别为齿轮与轴的径向变化量。
由式(2)、(3)可知在接合面处,齿轮、轴的径向位移分别为：
(5)
(6)
轴-齿轮过盈装配必须保证装配接合面始终在弹性变形范围内。因此，装配接合面处的接触应力必须小于材料的许用应力，过盈配合接触面的二维应力状态为[11]：
(7)
式中：τrθ=βp,β为摩擦系数。
将σr、σθ代入式(8),可得
(8)
式中：[σ]为材料的许用应力。由式(1)、(2)、(7)、 (8)可得最大的接触应力为：
(9)
将式(5)、(6)和(9)代入式(4)，可得最大过盈量Δ为：
(10)
1.3 齿形变形量计算
轴-齿轮过盈装配会导致齿形发生改变。若要求解齿形的变化量，首先要建立过盈装配前齿形的计算模型。由于渐开线齿形具有易加工、承载能力大等优点，因此本节选用渐开线齿形为研究对象。
图2为渐开线示意图，齿轮渐开线方程为：
图2 单齿渐开线示意图
Figure 2 The diagram of involute schematic
(11)
式中：Rb为基圆半径；θ为渐开线发生线在基圆上的滚动角。
过盈装配后,x,y坐标变化量为：
(12)
式中：u为齿轮径向位移量。
(13)
则新的齿形坐标可表示为：
(14)
2 有限元仿真分析
2.1 有限元模型的建立
为验证理论解的准确性,以渐开线斜齿轮为研究对象,开展轴-齿轮过盈配合的有限元分析。
图3为斜齿轮与轴最大过盈量装配时所建立的有限元模型,齿轮模数m=2，齿数z=30，压力角α=20°,模型材料为45钢，具体参数E=2.1×105 MPa, μ=0.3，[σ]=300 MPa。
图3 齿轮与轴过盈配合有限元模型
Figure 3 The element model of interference fit
图4为过盈配合区域齿轮配合表面应力分布图，应力从接触区域向四周扩散,接触应力值在66.24～88.639 MPa，中间位置应力79.80 MPa，与理论公式推导出的pmax=77.094 MPa基本一致。
图4 齿轮与轴过盈配合接触应力分布
Figure 4 The distribution of contact stress
2.2 理论计算与仿真结果对比分析
将有限元仿真与理论推导结果进行对比，验证理论公式。选取轴径Ra=15 mm，模数m=2 mm，压力角α=20°，齿数分别为z1=25，z2=30，z3=35，z4=45，z5=50斜齿轮，结果对比如图5、图6所示。
图5 不同齿数接触应力对比图
Figure 5 The contact stress of different number of teeth
图6 不同齿数齿顶圆的径向位移
Figure 6 The radical displacement under different number of teeth
轴-齿轮过盈装配连接质量取决于装配接合面压力p、摩擦系数β、过盈量Δ等参数。为达到最优装配质量，有必要研究以上参数对接触应力和齿轮变形的影响。
2.3 摩擦系数对接触应力及径向位移的影响
摩擦系数与轴和齿轮表面质量和润滑状态相关，本文摩擦系数β选取范围是0.1～0.2，根据式(9)、(2)、(4)可分别计算出不同β时接触应力、接触面处径向位移及过盈量,其变化趋势如图7～8所示。
图7 摩擦系数对接触应力的影响
Figure 7 The influence of friction coefficient on contact stress
由图7、图8可得：随着摩擦系数的增加，装配接合面处的接触应力和齿顶处的径向位移逐渐减小。因此,过盈装配时应合理选取β的取值。
图8 摩擦系数对径向位移与过盈量的影响
Figure 8 The influence of friction coefficient on radical displacement and interference
2.4 过盈量对接触应力及径向位移的影响
过盈量对过盈装配有重要的影响：过盈量过小，会造成齿轮传动过程中出现打滑现象，无法传递力和扭矩；过盈量过大，会造成装配困难，并导致齿轮和轴发生塑性变形。因此，本节讨论过盈量对接触应力和齿形变形的影响。
本节中，斜齿轮齿数z=30，过盈量Δ范围为9～13 μm。根据式(2)、(9)可分别计算出不同过盈量对接触应力和齿顶径向位移，其变化趋势如图9所示。由图9可得：在弹性范围内，随着过盈量的增加，装配接合面处的接触应力、径向位移呈线性增大趋势。
图9 过盈量对接触应力、径向位移的影响
Figure 9 The influence of interference on contact stress and radial displacement
3 装配前后齿形变化
由上述章节可知，过盈配合会导致齿形发生改变，而齿形的变化又会导致齿轮副侧隙发生改变。齿轮侧隙过大会导致齿轮在传动过程中产生冲击，过小则会加剧磨损，严重情况下会造成齿轮咬合卡死，造成齿轮箱损坏。因此，有必要对过盈装配后齿形的变化进行研究。
本节中，轴径为Ra=25 mm，模数m=4 mm，齿数压力角α=20°，齿数z=20，齿轮和轴的材料均选用45号钢。由式(10)和MATLAB编程可得装配前后齿形变化如图10所示。其中，I处放大图如图11所示。
图10 装配前后齿形变化对比图
Figure 10 The contrast of tooth shape before and after assembly
图11 I处放大图
Figure 11 The enlarged figure of I
4 结论
基于弹塑性力学得到轴与齿轮过盈配合时接触应力、径向位移的解析式,并利用有限元软件验证了解析式的正确性。得到变形后齿轮坐标计算公式,为后续齿轮侧隙的分析提供理论计算模型。具体的结论如下：
(1)基于渐开线方程建立齿轮装配后齿形变化量的计算模型，研究过盈装配对齿形的影响，为齿轮侧隙的设计提供理论基础。
(2)计算了不同齿数下装配接合面接触应力和径向位移。随着齿数的增加，接触应力逐渐变大，而径向位移逐渐变小。
(3)研究了摩擦系数对装配接合面接触应力和径向位移的影响。随着摩擦系数的增大，接触应力和径向位移逐渐变小。
(4)讨论了过盈量对装配接合面处接触应力和径向位移的影响规律。最大接触应力和齿形径向位移随着过盈量的增加呈线性增大趋势。
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