0 引言
滚动轴承是旋转机械必不可少的部件，当滚动轴承不稳定或损伤时必将影响旋转机械的稳定运行，甚至损害整套设备.轴承损伤时会产生冲击特征，导致产生的信号具有非平稳、非高斯的特点[1].
非平稳信号的分析和研究一直是专家的研究热点，近年来不少学者相继提出很多行之有效的方法，如小波分解[2-3]、经验模态分解[4-5]、局部均值分解[6]等，但它们也都有各自不足.比如，小波分解的小波基是固定而不能自适应，经验模态分解是自适应的时频分析方法，但却存在端点效应、模态混叠、过包络和欠包络等问题[7].局部均值分解是对经验模态分解的端点效应的改进，并且没有过包络和欠包络的问题，但没能改善模态混叠的问题[8-9].因此，文献[9]提出了一种基于噪声辅助分析的总体局部均值分解(ensemble local mean decomposition,ELMD)的方法，将白噪声分析引入了局部均值分解，缓解了模态混叠的问题，但是引入的白噪声不能完全被中和，存在完备性的问题.笔者借鉴补充总体经验模态分解[10-12]的思路，通过成对地添加正负两组白噪声，可保证在与ELMD有相当的分解效果的时候，减小了由白噪声引起的重构误差.
笔者基于采用补充总体局部均值分解(complementary ensemble local mean decomposition,CELMD)和频谱分析对轴承信号分析，实现对轴承故障特征频率地提取和识别，并通过仿真研究和试验研究论证了该方案的优越性.
1 补充总体局部均值分解理论
1.1 LMD基本理论
设原始信号为x(t)，经LMD分解后，可表示为
，LMD的具体分解过程参考文献[8].其中：PFi(t)表示经LMD分解后得到瞬时频率具有物理意义的乘积函数(production function, PF).乘积函数的表达式为PFi(t)=ai(t)si(t);ui表示LMD分解出i阶PF分量后的余量.其中：ai和si分别表示乘积函数的瞬时幅值和纯调频信号.PFi的瞬时频率可从对si处理后获得表达式：
·
.
(1)
1.2 ELMD基本理论
间歇性的高频信号或高频扰动噪声会使LMD分解出现模态混叠现象.模态混叠的出现不仅容易导致信号时频分布混叠的现象，而且会导致PF分量的瞬时频率的物理意义不明确.
噪声辅助分析方法能够有效地抑制LMD方法出现模态混叠的现象，程军圣等把噪声辅助分析的方法引入到LMD方法中，提出了总体局部均值分解(ELMD) 的方法，ELMD算法步骤简述如下，详细过程参见文献[9].
(1)把白噪声序列n1(t)添加到目标信号；
(2)对含噪信号进行LMD分解，得到第一组乘积函数PF1i和余量u1；
(3)循环上述步骤1～2；
(4)对上述所有残留噪声的各阶PF分量分别做求总体平均运算，以减弱添加的噪声对真实PF的影响，即可求得最后分解结果.
1.3 CELMD基本理论
为了避免ELMD添加的白噪声不能完全被中和以及运算时间过长的问题，笔者提出CELMD算法.其过程为首先在原信号中成对地添加正负两组白噪声，然后分别对两组加噪信号进行LMD分解，所以最终的PF分量是由残留正白噪声和负白噪声的两组PF分量求平均得到.CELMD算法的步骤如下：
(1)把白噪声序列n1(t)添加到目标信号；
(2)对含噪信号进行LMD分解，得到第一组乘积函数PF1i和余量u1；
(3)把与第一步符号相反的白噪声序列-n1(t)加入到目标数据中；
(4)对加相反噪声信号进行LMD分解，得到第二组乘积函数PF-1i和余量u-1；
(5)重复执行1～4；
(6)得到残留正白噪声和负白噪声的两组PF分量，按下面公式最终求得PF和u.
.(2)
.
(3)
1.4 参数设置
在CELMD分解的过程中需要确定两个参数：加入的白噪声的幅值ε以及CELMD分解的次数N.添加白噪声的幅值过小或者集成次数过少，起不到改变极值点分布的作用，从而不能平均极值点分布;如果幅值太大或者集成次数太多，固然能减弱所添加噪声影响，但也会使分解过慢.通过实验验证，当N取值接近数百时，残留噪声所导致的误差不超过0.01，因此N的取值一般为100，添加白噪声的幅值为原信号的标准差(standard deviation，SD)的0.1～0.2.
2 仿真研究
为验证该理论的有效性，构造仿真信号x(t)=n(t)+x1(t)+x2(t)+x3(t).其中，n(t)是两段均值为0的随机白噪声；x1(t)为一高频间断信号，其表达式为：
(4)
x2(t)为一高频正弦信号,x2(t)=2sin(30πt),t∈(0,1]；x3(t)为一低频正弦信号x3(t)=2sin(10πt),t∈(0,1].采样率设为1 kHz，仿真信号波形如图1所示.
图1 仿真信号及各组成成分的波形
Fig.1 Simulating signal and waveform of the components
对仿真信号分别进行LMD、ELMD和CELMD分解.其中，加入白噪声的幅值是仿真信号标准差的0.15倍，加入白噪声的次数在ELMD和CELMD中取值分别为100和50对(正、负白噪声各50个).其分解结果分别如图2所示.
图2 仿真信号的分解对比图
Fig.2 Comparison of the decomposition results of simulation signals
综合对比图2可得出，由于随机白噪声和高频间断信号的存在，经LMD分解得到的PF1分量中不仅有高频噪声n(t),还有高频间断正弦信号x1(t)和高频正弦信号x2(t)，从而产生模态混叠现象,没能获得真正的分离信号.从图2(b)和图2(c)可以看出，分解得到的PF分量与原始信号的4个组成部分基本一致，这表明经过添加白噪声和集成平均，在一定程度抑制了LMD分解时产生的模态混叠现象.图2(b)中，PF1分量和PF2分量的间歇部分的幅值比较大，这表明添加的白噪声并没有完全被中和，存在残留噪声，影响了ELMD分解的完备性.但图2(c)中PF1和PF2分量的间歇部分信号基本上接近0，可以认为添加的白噪声基本上消除，分解的完备性较好.
为进一步对比ELMD和CELMD的完备性，需分析重构误差(reconstruction errors,RE).重构误差为分解后得到的重构信号与原始信号的差值.其中，重构信号是根据ELMD和CELMD分解后得到的乘积函数和余量相加而得，用
表示.图3即是本实验中残留在信号中重构误差.
图3 ELMD和CELMD重构误差
Fig.3 The reconstruction errors of the ELMD and CELMD
为进一步比较，给出均方根误差(root mean squared error,RMSE)的计算公式为Erms：
,(5)
式中，T为信号长度.本仿真中，ELMD和CELMD的均方根误差统计结果如表1所示.
表1 重构信号均方根误差对照表
Tab.1 The RMSEs in the signal reconstruction
参数方法添加噪声幅值添加噪声次数RMSEELMD0151000014CELMD015100(50×2)282e-16
3 试验验证
本文轴承故障数据采用美国凯斯西储大学 (Case Western Reserve University) 电气工程实验室的滚动轴承试验数据对所提的方法进行验证.实验时，电动机转速是1 730 r/min，负载为0 Ps，轴承振动信号数据采样频率为12 kHz.电机驱动端采用型号为6206-RS的深沟型轴承，结构特如表2所示.经计算，其内圈、外圈、滚动体单点故障时特征频率的理论值分别为156.14、103.36、135.28 Hz.
表2 滚动轴承结构参数表
Tab.2 Table of rolling bearing structure parameters
轴承外径/mm节圆直径/mm轴承内径/mm滚动体个数滚动体直径/mm接触角/(°)52392597940
为验证本文方法有效性，以内圈故障为例分析，信号时域波形图和频谱图分别如图4和图5所示.从两图中很难直接看出故障频率，因此，对内圈故障信号分别进行LMD、ELMD、CELMD分解，求得PF分量，由于篇幅所限，就不再一一列出各个PF分量.其中，ELMD和CELMD的ε取值为0.15，N取值分别为100和50.在所得的3组PF分量中，分别提取第5个PF分量，进行FFT变换，得到频谱如图6所示.
对图6分析可知，图6(a)中的LMD分解得到的PF5分量的频谱图幅值集中在150 Hz和300 Hz附近，但是不能区分出具体的特征频率.图6(b)的ELMD分解和6(c)CELMD分解所求得PF5分量频谱图幅值都主要集中于155.3 Hz附近，与轴承的内圈故障的特征频率fi基本相同，其次，振动信号频率集中的地方为140.6、183.1、283.3 Hz，分别为fi-fr/2、fi+fr、2fi-fr，fr为轴承正常旋转频率.由此可以判断出轴承存在内圈故障，并且可以看出，和ELMD相比，CELMD的PF分量的频谱图幅值集中的频率点更少、更准确，因此CELMD分解更有效、更优越.
图4 轴承内圈故障时域波形图
Fig.4 Time domain waveform of bearing inner ring fault
图5 轴承内圈故障频谱图
Fig.5 The spectrum of bearing inner ring fault
图6 3种分解方式对比
Fig.6 Comparison of three decomposition methods
同理，使用CELMD分解对外圈故障信号和滚动体故障信号分解，得到如图7所示的频谱.从7(a)可以看出,频率最集中的地方为104 Hz，与轴承的外圈故障的特征频率fo基本相同;其次，振动信号频率集中的地方为70.3、133.1、203.3 Hz，分别为fo-fr、fo+fr、2fo.由此可以判断出轴承存在外圈故障.从7(b)可以看出,频率最集中的地方为133.3 Hz;其次，振动信号频率集中的地方为100.6、153.3 Hz，分别为fb-fr、fb+fr，由此可以得出轴承存在滚动体故障.
图7 CELMD分解的PF6分量的频谱图
Fig.7 Spectrum of PF6 with CELMD
4 结论
通过总结CELMD和傅里叶变换结合的滚动轴承诊断方法可知，CELMD不但在中和添加白噪声和抑制模态混叠方面具有优势，而且可以起到对高频噪声的滤波效果；同时，CELMD结合傅里叶变换方法还能够提取到更精确的故障特征频率，与计算所得的理论特征频率对比，提高对故障诊断的准确性和有效性.
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