0 引言
FSAE方程式赛车动态项目主要有直线加速测试、8字绕环测试、高速壁障测试、耐久赛经济性测试等.要求不违反规则的同时所用时间最少.车架是承载骨架，在满足赛车各工况使用性能的前提下，轻量化技术的开发可以有效缩短所需时间，这是因为赛车整备质量提高1 kg，赛车跑一圈要多耗0.03 s；整备质量提高5 kg以上，赛车跑完一个赛道要多耗12 s[1].
目前国外赛车车架的轻量化开发主要体现在两方面：一是采用复合材料单体壳；二是桁架钢管轻量化.哈工大是国内参赛院校中最早使用单体壳代替车架的学校，由于国内制作单体壳的设备较少，且费用高昂(为钢管车架20倍)[2]，而且一旦碰撞受损无法修复.而桁架钢管车架成本较低、结构简单、容易加工，使得大部分参赛队使用这一形式的车架.
一般赛车车架的开发主要是设计出最初车架后不断对细节处的结构进行改进，对应力集中部位使用加强肋进行强度加强，这样不但增加了时间成本，而且使得车架质量提高.笔者以某校参加FSAE油车车架为基础，采用有限元分析，在保证刚度和安全使用条件下，采用拓扑设计，获取车架最佳的材料分布，然后对钢管进行截面尺寸优化，使得应力分布均匀，由此确定了赛车的新车架，通过模态与试验分析，该车架在降低成本和缩短开发周期的基础上提高了性能.
1 模型的建立
1.1 车架的三维模型
几何模型是进行数值仿真的前提，FSAE方程式赛车车架的CATIA模型如图1所示.
1.前隔板;2.前隔板斜撑;3.副防滚架;4.侧边防撞结构;5.肩带安装杆;6.主防滚架;7.主防滚架斜撑;8.发动机安装架
图1 车架的CATIA模型图
Fig.1 The frame of CATIA model
1.2 有限元模型
有限元原理的理论基础是弹性力学的变分原理[3]，变分原理就是讲弹性力学的基本方程：偏微分方程的边值问题转换为代数方程求解的一种方法.对于一个多自由度线性运动系统，其运动微分方程为：
[M]{X″}+[C]{X′}+[K]{X}={F(t)}，
(1)
式中：[M]、[C]、[K]分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；{X″}、{X′}、{X}分别为节点的位移矢量、速度矢量和加速度矢量；F(t)为随着时间变化的载荷函数.
在模态分析时，设定{F(t)}=0，并且忽略阻尼[C]的影响，则方程变为：
[M]{X″}+[K]{X}=0.
(2)
其基本形式为：
[M]=φsin ωt,
(3)
式中：φ为自由振动时结构中的点的振幅；ω为自振角频率.
联立求解式(2)、式(3)得：
([K]-ω2[M])φ=0.
(4)
由式(4)求得特征值ω2，由ω=2πf可得结构的固有频率，即为模态频率.特征值对应的特征向量即为结构的模态振型.
1.3 结构优化模型
优化设计有3要素，即设计变量、目标函数和约束条件[4].设计变量是变量发生改变从而提高性能的一组参数；目标函数要求最优的设计性能，是关于设计变量的函数；约束条件是对设计的限制，是对设计变量和其他性能的要求.
优化数学模型可表述如下.
最小尺寸:
f(x)=f(x1,x2,…,xn),
(5)
目标函数:
gj(x)≤0, j=1,2，…，m;
hk(x)≤0, k=1,2，…，m;
式中：X=(x1,x2，…,xn)是设计变量，如产品的结构尺寸；f(x)是设计目标，如各种力学性能或者质量；g(x)和h(x)是需要进行约束的设计响应，如对产品工作时的变形和应力水平进行约束.
2 赛车车架拓扑设计
2.1 拓扑设计的前处理
拓扑设计技术是指在给定的设计空间内找到最佳的材料分布，从而在满足各种性能的条件下得到最优设计.将车架的三维模型导入Hyper Mesh中进行拓扑设计的前处理，主要包括模型的几何清理，设计包络面代替桁架结构，用2D网格单体壳表示，如图2所示.划分网格单元[5]尺寸为3 mm，节点共46 505个，总单元数为23 651个，赋予材料牌号4130钢(国内牌号30CrMo)，弹性模量为205 GPa，泊松比0.29，密度78 503 kg/m3，屈服强度785 MPa.与包络面连接处为1D网格，主要为悬挂连接，此处为非设计区域，如图3为非设计区域的放大图.
图2 拓扑设计前处理模型
Fig.2 The processing model before topology design
图3 非设计区域放大图
Fig.3 The enlargement of nondesign area
前处理模型中前部分(车头处)可设计的自由度大，尽可能用多的包络面表示，后部(车尾处)放置发动机和变速箱等可设计的自由度少，用尽可能少的空间包络.
2.2 拓扑设计的数学模型
设计变量：X=dev(com1);
响应类型[6]:h(x)=dis;
g(x)=vol;
约束条件：g(x)≤0.3;
目标函数：f(x)=min(h(x)),
式中：dev为单元网格密度变化；com1为可设计区域；dis为静力学位移；vol为体积分数，体积分数=(当前迭代步总体积-初始非设计区域体积)/初始设计区域体积；约束条件为质量分数上限30%，即保留材料不能超过选定空间材料的30%；目标函数为位移最小化.
2.3 拓扑设计结果分析
在Hyper Mesh中选用optistruct求解器，在Analysis中选optimization面板，进入优化设计模块，选定topology将以上网格和参数设定完毕后，递交求解得到单元密度云图如图4所示.
图4 单元密度云图
Fig.4 The unit density contours
采用SIMP方法(密度法)，求解后单元密度为1(或靠近1)，表示该单元位置处的材料很重要，需要保留；单元密度为0(或靠近0)，表示该单元处的材料不重要，可以去除，从而达到材料的高效率利用.从图4可以看出，单元密度接近1的区域呈杂乱块状分布，筋条不明显，赛车头部无单元密度接近1的区域分布.
将车头部加载荷，考虑碰撞工况，同时考虑到制造可加工性，采用制造工艺约束，通过MIMDIM参数施加最少成员和最多成员尺寸约束(最少成员尺寸约束为网格的3倍以上；最多成员尺寸约束为最少成员尺寸约束的2倍以上)，重新递交求解，如图5所示.隐藏单元密度小于0.5的区域如图6所示.
图5 最少、最多成员尺寸约束的单元密度云图
Fig.5 The cell density contours of minimum and maximum member size constraints
图6 单元密度大于0.5的云图
Fig.6 The cell density is greater than 0.5 cloud
依据图5容易设计出钢管车架结构，对于单元密度接近1面积大的区域采用管径大、壁厚的钢管;对于单元密度接近1面积小的区域采用管径小、壁薄的钢管.本届FSAE方程式赛车车架的结构模型如图7所示.
图7 车架结构模型
Fig.7 The model of frame structure
与图1比较可以看出，车头处上部采用十字交叉状梁布局，这样更有利于前隔板及其斜撑的稳定性，测面防撞结构取消了“星”字布局，采用折线型结构，使得线条更为流畅，有利于减少空气对车身的阻力，车架后部更为简短，减少了钢材的使用，同时掀背式布局更有利于空气流经车尾时往下卷[7]，提高了行驶的操纵稳定性.
3 新车架的轻量化
3.1 工况的设定
赛车车架结构确定后，只需要确定钢管规格尺寸和参数，在满足赛车实际运行的要求前提下，使新车架轻量化.实际的跑道上赛车受力复杂，为方便运算通常对模型的受力做一些简化.8字绕环测试时会出现紧急转弯，用shear(侧向力)模拟赛车8字绕环测试.紧急制动、极限加速时，赛车主要受地面支撑力，用bending(地面支撑力)模拟赛车实际工作中的直线加速测试.耐久性测试主要考验悬架的减振作用，因此在悬架靠近车轮处用torsion(扭矩)模拟[8]，优化前对车架先进行静力学分析,主要目的是与后期优化后结果进行对比.
在Hyper Mesh中选用radioss求解器，在Analysis中选择load step面板，进入载荷步模块选定linear static，递交计算后得到3种工况下车架的位移云图如图8所示，3种工况下车架的应力云图如图9所示.从图8和图9中可知，torsion工况下车架的最大位移为6.294 mm,主要发生在前隔板斜撑和悬挂位置，这会严重影响赛车绕8字时的性能[9]，最大应力为307 MPa(许用应力200 MPa)，主要发生在地面第二根横梁处，这在直线加速测试、高速壁障测试、耐久赛经济性测试中都会影响到赛车的性能.
图8 优化前3种工况下车架的位移云图
Fig.8 The frame displacement contours of three conditions without optimization
图9 优化前3种工况下车架的应力云图
Fig.9 The frame stress contours of three conditions without optimization
3.2 尺寸优化的数学模型
设计变量：X=Dim，
响应类型：h(x)=dis;
g(x)=mass，
约束条件：k(x)≤200 MPa;
h1(x)≤2 mm;
h2(x)≤2 mm;
h3(x)≤6 mm，
目标函数：f(x)=min(g(x)).
定义设计变量内半径初始值10.5，下界为1，上界为14；外半径初始值12.5，下界为5，上界为15，增加离散变量[10]进行优化，在1～15之间每0.1 mm增加一次.设计变量公式Dim=c0+l，c0初始值为0，响应类型为质量响应、应力响应、位移响应，约束类型为应力约束、位移约束，目标函数为质量最少.前处理模型如图10所示.
图10 尺寸优化的前处理模型
Fig.10 The processing model of before the size optimization
2.3 尺寸优化结果分析
尺寸优化要保证变形量不增大的同时降低应力值[11].在Hyper Mesh中选用optistruct求解器，在Analysis中选optimization面板，进入优化设计模块，选定尺寸将以上网格和参数设定完毕后提交求解，在后处理中会得到上述尺寸优化后的.PROP文件，如图11所示，该文件可为钢管尺寸规格提供参考，同时得到车架优化过程中的质量变化曲线图，如图12所示.
图11 尺寸优化后的.PROP文件
Fig. 11 The .PROP file after the size optimization
图12 优化前后质量变化曲线图
Fig.12 The quality change curve before and after optimization
从图12可以看出，随着车架梁截面尺寸的变化，车架质量从42 kg逐渐降低，在迭代第5步后趋向稳定，达到29 kg左右.
优化后3种工况下车架模型的位移云图如图13所示.优化后3种工况下车架模型的应力云图如图14所示.
由尺寸优化后的.PROP文件结合市场上销售的钢管材料，最终选定车架的梁截面尺寸与优化前的截面对比如表1所示，优化前后3种工况下数据对比如表2所示，优化后bending和torsion工况下的最大位移减少了1 mm左右，shear工况下最大位移减少了0.5 mm左右，bending工况下的最大应力基本保持不变，shear和bending工况下最大应力均有所减少，均满足许用应力的要求.从优化前后的质量可以看出车架质量减少了13.7 kg，实现了轻量化的目的.
图13 优化后3种工况下车架的位移云图
Fig.13 The frame displacement contours of three conditions after optimization
图14 优化后3种工况下车架的应力云图
Fig.14 The frame stress contours of three conditions after optimization
表1 优化前后梁截面对比
Tab.1 Beam section contrast before and after optimizationmm
梁名称设计变量原值最优解主防滚架副防滚架侧面防撞结构前隔板前隔板斜撑主防滚架斜撑其他DIM1DIM2DIM1DIM2DIM1DIM2DIM1DIM2DIM1DIM2DIM1DIM2DIM1DIM225×230×2 530×2 525×225×2 525×2 525×2 52521252125212016201621172117
注：DIM1为截面外半径；DIM2为截面内半径.
表2 3种工况下优化前后数据对比
Tab.2 Three conditions data comparison before and after optimization
工况最大位移/mm最大应力/MPa质量/kg优化前优化后优化前优化后优化前优化后bending1 4551 34937 6638 1342 328 6 shear2 2091 876109 0083 3242 328 6 torsion6 2995 371307 00187 1042 328 6
4 模态及试验分析
4.1 模态分析
赛车在道路上行驶时，由于路面不平整和车轮不平衡会使车架产生随机振动[12]，发动机工作会使车架产生周期性受迫振动.当车架的某阶固有频率与激振频率相接近时，就会产生共振的现象，严重的话会对车架造成损坏.为了避免这种情况的发生，对车架进行模态分析就显得尤为必要.确定车架的固有频率和振型，验证其固有频率是否避开上述振源的激励频率.
ABAQUS被广泛地认为是功能强大的有限元软件之一，可以分析固体力学、结构力学系统，特别是能够处理非常庞大、复杂的问题和模拟高度非线性问题.在Hyper Mesh中将上述车架结构模型导出.Inp文件后，导入ABAQUS中，定义线性摄动步后，计算优化后车架的固有频率和振型如表3所示.
表3 6阶固有频率和振型
Tab.3 The 6 order natural frequency and vibration mode
阶次频率/Hz振型描述734 61扭转振动861 43横向摆动969 98弯曲组合1078 96后部摆动1193 83弯曲摆扭12151 43横向摆动
赛车在行驶时车架受到的外部激振源主要有两种：一种是由于路面不平所造成的车轮不平衡激振，在1～20 Hz 之间；另一种是发动机运转时，工作冲程燃烧爆发压力和活塞往复惯性力引起的简谐激励，该赛车采用发动机为本田CBR600，在限制进气后的最高转速可达11 000 r/min，发动机怠速时转速为2 000 r/min，常用的发动机转速为6 000～10 000 r/min，频率计算公式：
(6)
式中：z发动机的缸数；τ发动机冲程数；n发动机的转速.
由式(6)计算得发动机怠速频率为67 Hz，常用的激励频率范围是200～333 Hz.
车架前16阶弹性振动固有频率在30～150 Hz，避开了由于路面不平所造成的车轮不平衡激振20 Hz，也低于发动机常用工作频率200～333 Hz，发动机的怠速频率与固有频率保持在3 Hz差值之上，共振现象得到了很大程度上的避免，该赛车车架结构设计合理.
4.2 试验分析
在不更换发动机及其动力传动系统、轮胎、座椅等前提下，最终装配完整的赛车如图15所示.
由于8字绕环测试所需场地面积小，如图16所示，场地容易布置，对赛车横向和侧向加速能力要求较高，通常作为新赛车的性能测试[13].取同一名赛车手与去年测试成绩对比如图17所示.从图中可以看出，同一车手优化前跑7次8字绕弯测试的平均成绩为5.49 s，优化后跑7次8字绕弯平均成绩为5.30 s，8字绕弯测试时间节省了3%.
图15 完整赛车图
Fig.15 The figure of complete car
图16 8字绕环测试场地
Fig.16 The eight around the ring test site
图17 优化前后测试成绩对比
Fig.17 Test scores before and after optimization
5 结论
结构优化技术是当前CAE技术发展的一个热点，笔者运用拓扑设计和尺寸优化设计新车架.在满足安全和使用条件下，优化后的车架质量减少了32%，通过模态分析技术，避开了由于路面不平所造成的车轮不平衡激振和发动机常用工作激振，使共振现象得到了很大程度上的避免，最后进行8字绕环测试，时间节省了3%，从而实现了车架的轻量化.
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