摘 要： 目前对于基于双向传输信道的无线Ad Hoc网络传输容量的研究还很少，主要原因是无法得到传输容量的闭合表达式，无法准确地研究各种网络参数对传输容量的影响. 针对这一情况，使用随机几何理论建立无线Ad Hoc网络双向传输模型，并对瑞利衰落信道时双向传输成功概率和双向传输容量的闭合表达式进行了理论推导. 数值仿真结果表明：单次传输的成功概率受多个网络参数的影响，实际网络中通信密度的增加会导致通信成功概率的迅速下降；双向传输容量主要受到网络允许的最大通信失败概率的影响，当最大通信失败概率较小时，双向传输容量随着最大通信失败概率的增加而显著增大，但是此时通信质量也会下降，因此需要选择合适的最大通信失败概率以便兼顾通信质量和双向传输容量.
关键词： Ad Hoc； 双向传输； 传输容量； 最大通信失败概率； 通信对
无线Ad Hoc网络的传输容量[1](TC，transmission capacity)被定义为具有最大通信失败概率约束的最大成功通信密度，也就是说，TC实质上是在满足一定通信质量时网络能够在单位面积上实现的最大成功通信数量.多年来，人们试图从多个方面[2]对无线Ad Hoc网络的TC进行研究，目前广泛为研究者们所认可的研究方法是使用随机几何理论[3]对网络中发送机(TX，transmitter)和接收机(RX，receiver)在网络中的位置分布进行建模.使用这一方法，研究者们从不同方面对TC进行了研究，比如干扰消除[4]、多天线[5]、保护区域[6]等，并取得了较为显著的研究成果.
前期的研究主要都是基于网络中的通信是单向传输[7-8]这一条件，认为只要任意TX发送的信号到达对应的RX处的信干比(SIR，signal-to-interference ratio)大于信干比门限值就能够实现信号的成功传输[9].但是实际上的通信系统往往是双向通信，就算是单向通信的通信系统也需要反馈信号来进行信道初始化、信道反馈、接收确认和路由信息传递等.文献[10]首次提出了在无线Ad Hoc网络TC的研究中使用双向信道，并对双向信道对TC的影响进行了研究，但是只给出了TC的上下界的范围，没有得到TC的闭合表达式，无法给出TC与网络参数之间的具体关系，因此无法准确的描述各种网络参数变化对TC的影响.针对这一问题，笔者研究瑞利衰落信道情况下的无线Ad Hoc网络的双向传输容量(BTC，bidirectional transmission capacity)，使用随机几何理论对无线Ad Hoc网络进行建模，并推导BTC的闭合表达式.在此网络中，对于任意TX和RX构成的通信对来说，一次成功的双向通信包括从TX到RX和RX到TX两次通信，只有当这两次通信都成功时才能认为这次双向通信成功.
使用随机几何理论对无线Ad Hoc网络进行建模，网络处于二维平面上且没有规模限制，在网络中存在两组通信终端，一组为TX，另一组为RX，任意TX都有唯一的一个RX与之相对应，并构成一个通信对.根据随机几何理论，网络中所有TXS(或RXS)在网络中的位置服从密度为λ泊松点过程(PPP，poisson point process).
使用时隙Aloha随机接入协议[11]，在任意时隙内，任意通信对以概率p随机接入信道进行通信.根据随机几何理论中PPP具有平稳性[12]，在任意时隙内，所有进行通信的TX(或RX)在网络中的位置服从密度为pλ的PPP.网络中所有的通信对使用频分双工进行双向通信，即任意TX使用相同的频率ft发送数据给对应的RX，并且任意RX使用相同的频率fr发送数据给对应的TX.在任意时隙内，随机选定一组通信对并用编号0来表示，网络中的其他通信对用编号i(i=1,2,3,…)来表示，对编号为0的通信对的通信性能统计特性的研究结果将与其它通信对相同.
在某一时隙内，任意TX0与RX0之间的距离为d；TXi与RX0之间的距离用Xt,i表示；信道功率衰落系数用Ht,i表示；RXi与TX0之间的距离用Xr,i表示；信道功率衰落系数用Hr,i表示.由于无线Ad Hoc网络是干扰受限系统[13]，笔者不考虑随机噪声的影响，定义信道为瑞利衰落，信号功率衰减因子服从参数为τ的指数分布，路径损耗因子为α(αgt;2)，则RX0处接收到的信号为
(1)
在TX0处接收到的信号为
(2)
式中:P为任意TX(或RX)的发送信号功率.因此可以得到RX0处的SIRr为
SIRr=
.
(3)
TX0处的SIRt为
SIRt=
.
(4)
定义SIR的最低门限值为β，在任意TX或RX处的SIR一旦低于β就会导致通信失败，因此RX0接收信号成功概率可以表示为
Sr=Pr(SIRr≥β).
(5)
TX0处接收信号成功概率可以表示为
St=Pr(SIRt≥β).
(6)
只有当RX0和TX0处都成功接收信号时，编号为0的通信对(TX0和RX0)才成功地进行了一次双向通信，因此双向通信失败概率为
Q=1-StSr.
(7)
为了保证网络的通信质量，一般要求双向通信失败概率要控制在一个较小的值[14]，定义ε为网络允许的最大通信失败概率，则通过对Q=ε进行求解可以得到对应的最大通信对密度λε.参考单向传输网络TC的定义，笔者定义BTC为
CB=(1-ε)pλε,0lt;εlt;1.
(8)
根据RX0处成功通信概率的定义(5)，把式(3)代入公式(5)并进行整理可以得到：
Sr=Pr(Ht,0≥βdαIt)，
(9)
式中，
(10)
定义符号E(*)为对随机参数求数学期望，由于Ht,0服从参数为τ的指数分布，则公式(9)可以变为
Sr=E(
τe-τhdh)=LIt(τβdα)，
(11)
式中:LIt(s)表示随机变量It的拉普拉斯变换.
定理1： 随机变量
的拉普拉斯变换表达式为
LIt(s)=e-λpπsγE(Ht,iγ)Γ(1-γ)，
(12)
式中: γ=2/α;Γ(x)是伽玛函数.
证明：为了能够推导随机变量It的拉普拉斯变换LIt(s)，首先把网络区域限制在以RX0为圆心并且半径为r的圆形区域，此时如果只有k个TX存在于此区域，则It的拉普拉斯变换可以表示为
(13)
由于TXS服从密度为λp的PPP，则在面积为πr2的区域内存在k个TXS的概率为
P(k， TXS)=
e-λpπr2.
(14)
把式(13)与(14)结合在一起，可以得到任意数量TX位于面积为πr2的圆形区域内时的It的拉普拉斯变换的期望值为
(15)
由于任意TXi随机分布在此圆形区域内，Xt,i的概率密度函数为
fX(x)=2x/r2,0≤x≤r.
(16)
把公式(16)代入式(15)可以得到：
(17)
当r→∞时，公式(17)变为
LIt(s)=e-λpπsγE(Ht,iγ)Γ(1-γ).
(18)
定理1证明完毕.
定理2：在双向对称传输信道系统模型中，无线Ad Hoc网络的双向传输容量为
CB=
.
(19)
证明：由于Ht,i服从参数为τ的指数分布，因此可以得到：
).
(20)
把式(20)代入式(12)可以得到随机变量
的拉普拉斯变换表达式为
LIt(s)=e-λpπsγτ-γΓ(1+γ)Γ(1-γ).
(21)
由于
Γ(1+γ)Γ(1-γ)=γπcsc(γπ).
(22)
把式(22)代入式(21)，则随机变量的拉普拉斯变换表达式变为
LIt(s)=e-λpγπ2τ-γcsc(γπ)sγ.
(23)
式(11)是单向传输成功概率的表达式，把式(23)代入式(11)可以得到单向传输成功接收信号的概率为
Sr=LIt(τβdα)=e-λpγβγd2π2csc(γπ).
(24)
由于网络中的TXS和RXS具有相同的分布，信道传输参数也具有相同的统计特性，因此使用与推导RX0处成功接收信号概率相同的推导过程可以得到：
St=Sr=e-λpγβγd2π2csc(γπ).
(25)
把式(24)和式(25)代入双向传输失败概率定义式(7)，可以得到双向通信失败概率为
Q=1-e-λpγβγd2π2csc(γπ).
(26)
令Q=ε并对式(26)进行求解，可以得到对应于最大通信失败概率ε时的最大通信对密度λε为
λε=
.
(27)
最后，把最大通信对密度λε式(27)代入BTC的定义式(8)，可以得到无线Ad Hoc网络的双向传输容量为
CB=.
(28)
定理2证明完毕.
这一章将对前面推导的统计特性结果进行数值仿真分析，如果没有特别的说明，仿真参数如表1所示.
表1 仿真参数
Tab.1 Simulation parameters
名称符号数值随机接入概率p0.001路径衰减因子α4SIR的最低门限值β10TXi与RXi之间的距离/md20
由于St=Sr，可以认为单向传输成功通信概率与RX0处成功接收信号概率相同.参考RX0处成功接收信号概率的式(20)可知，成功通信概率主要受通信对密度λ、信干比最低门限值β、路径衰减因子α、随机接入概率p和通信对的传输距离d等参数影响.如图1所示，单向传输的成功通信概率随着通信对密度λ的增大而迅速减少，这是因为通信对密度λ的增大使得同一时隙内通信的通信对增多，由于使用相同的通信频率，通信对之间的干扰会显著增多，使得通信失败的概率迅速增大.另外可以看到，单向传输的成功通信概率随着信干比最低门限值的减少而增大，但是此时的通信质量也会随之降低.
图1 单向传输成功通信概率
Fig.1 Probability of successful single-way transmission
对于单向传输系统，使用笔者定义的网络模型和参数，可以得到单向传输系统的TC为
CS=
.
(29)
如图2所示，单向传输系统TC和双向传输系统BTC首先随着最大通信失败概率ε的增大而增大，后随着最大通信失败概率ε的增大而减少，并且存在一个最优ε使得网络的TC和BTC达到最大值.参考BTC的定义公式(8)可以知道，网络的BTC主要由最大通信对密度λε和成功通信概率1-ε的乘积决定.当最大通信失败概率ε较小时，ε的增大会使得λε有较为明显的增大，而此时成功通信概率1-ε的减小相对较少，最终使得网络的BTC增大.这说明，适当的降低网络的通信质量对于提高网络的BTC有较为明显的作用.当最大通信失败概率ε较大时，ε的增大对λε变化的影响开始变得不明显，而此时成功通信概率1-ε的减小变得相对较大，最终使得网络的BTC减少.这种情况说明降低网络的通信质量并不一定能够提高网络的BTC，有时候会取得相反的效果.
图2 传输容量与最大通信失败概率的关系图
Fig.2 Transmission capacity versus the maximum outage probability
从上面的分析可知，可以通过控制网络中的最大通信失败概率ε来实现对BTC的控制.一般网络中，ε往往是一个较小的值，此时增大ε会使得网络的BTC增加，但是会导致通信质量的下降，因此如何在保证通信质量和提高网络BTC之间权衡[11]是实际网络参数设置时首先要考虑的.
另外从图2中可以看到，当最大通信失败概率ε保持不变时，最大双向传输的BTC要比单向传输的TC小，但是两者随ε变化的趋势是一致的.这一结果说明，前期论文对网络参数与单向传输TC关系的研究结果对双向传输的BTC同样有用.
对于无线Ad Hoc网络来说，双向传输系统模型比单向传输系统模型更加贴近实际网络，因此对于BTC的研究结果更加具有实际应用价值.笔者的研究结果表明，无线Ad Hoc网络的BTC主要受通信对密度和最大通信失败概率影响，适当的提高最大通信失败概率可以使得网络的BTC有较大的提高，代价则是通信质量会下降；但是当最大通信失败概率较大时，反而会使得网络的BTC减少，说明为了兼顾通信质量和BTC需要合理的设置最大通信失败概率.本文的讨论仅仅局限于双向对称信道，而实际网络中有很多是非对称双向信道，此时双向传输的带宽和通信速率都会不同，网络参数对BTC的影响还有待于进一步研究.
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Abstract: The research of the transmission capacity in wireless Ad Hoc networks based on bidirectional channels grew slowly. The closed-form expression could not be obtained. As a result, the relationship between the transmission capacity and the network parameters could not be expressed exactly. To solve the problem, the system model of bidirectional transmission in wireless Ad Hoc networks, was proposed to redefine the bidirectional transmission capacity based on the symmetrical bidirectional transmission channel, and to derive the probability of successful transmission and transmission capacity for bidirectional transmission. Numerical results showed that, the probability of successful transmission for single transmission was affected by some network parameters, and was mainly determined by the density of transmission pair with which the probability of successful transmission would increase. The bidirectional transmission capacity was mainly determined by the maximum outage probability. When the maximum outage probability was a small value, the bidirectional transmission capacity would increase with maximum outage probability, while the quality of communication would reduce, so how to choose a suitable maximum outage probability was very important in real networks.
Key words: Ad Hoc; bidirectional transmission; transmission capacity; maximum outage probability; density of transmission pair
收稿日期:2017-02-10；
修订日期：2017-06-20
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61271257)
文章编号:1671-6833(2017)06-0006-05
中图分类号： TN911.22
文献标志码：A
doi:10.13705/j.issn.1671-6833.2017.06.002