.摘 要：针对约束阻尼结构的动力学拓扑优化问题，基于实体各向同性材料惩罚模型(SIMP插值模型)，以约束阻尼结构位移响应最小化为优化目标，约束阻尼材料使用量为约束条件，建立了约束阻尼结构位移响应拓扑优化模型.在位移响应的灵敏度分析时，将模态阻尼比的灵敏度引入到优化目标的灵敏度分析中，使优化目标的灵敏度计算更加准确合理.采用移动渐近线法(MMA)对拓扑优化模型进行求解.通过算例分析，验证了提出的约束阻尼结构的动力学优化算法的正确性和有效性.
关键词：约束阻尼；拓扑优化；灵敏度；位移响应
约束阻尼处理技术对原结构改变少，易于实施，能有效地抑制结构宽频振动噪声，在航空航天、汽车和舰船等行业的减振降噪方面获得广泛应用[1-2].为了降低成本及提高阻尼材料的利用效率，需对约束阻尼材料的布置位置进行优化.目前，约束阻尼结构的拓扑优化大多以模态阻尼比(模态损耗因子)为优化目标，旨在通过提高约束阻尼结构的模态阻尼比(模态损耗因子)来抑制结构的振动和噪声辐射[3-6].在此研究中，仅考虑了结构模态阻尼比(模态损耗因子)，未考虑振型和固有频率的变化对结构振动响应影响.
以结构动响应为优化目标的动力学拓扑优化具有良好的工程实用性和设计针对性，通过对结构的拓扑优化来抑制结构的振动响应[7-9]，成为结构拓扑优化的研究热点.在此研究中，结构为无阻尼结构或者优化过程中结构阻尼变化不大，可将结构阻尼视为定值，仅考虑了振型和固有频率的变化对结构动响应的影响.对于约束阻尼结构而言，将结构阻尼视为定值则会带来很大误差，在灵敏度分析时，需要综合考虑模态阻尼比、固有频率和振型对位移响应的影响.
笔者基于实体各向同性材料惩罚模型(SIMP插值模型)，以位移响应为优化目标，建立了约束阻尼结构的拓扑优化模型.考虑到约束阻尼结构的模态阻尼比在优化迭代过程中的变化，将模态阻尼比的灵敏度引入到优化目标的灵敏度计算中，提高灵敏度计算精度.采用MMA算法，编制了约束阻尼结构的优化流程，提出了约束阻尼结构以位移响应最小化为目标的优化方法.
在实际工程应用中，结构的某些部分的振动响应需要加以控制，因而，以约束阻尼结构某些部位的位移响应为优化目标，通过优化使其位移响应达到最小化.为了严格控制结构的整体重量，以约束阻尼材料使用体积为约束条件，约束阻尼材料单元为设计变量建立拓扑优化模型为：
.
(1)
式中: ρe为设计变量;ρmin为设计变量的下界，本文取值为0.000 1；a为激励频率数;b为优化目标点数；Ve为每个约束阻尼单元的体积;Vf为体积分数.
简谐激励下，结构的振动方程为：
,
(2)
式中:M、C 和K分别为质量、阻尼和刚度矩阵，均为N×N阶对称矩阵,N表示结构自由度数；f(t)=Feiωft为激励力矢量, 其中，F为激励力的幅值矢量， ωf为激励频率；
和
分别为结构的位移、速度和加速度矢量.
对于约束阻尼结构，质量矩阵M和刚度矩阵K分别为：
(3)
式中:下标b、v和c分别表示基本层、黏弹性阻尼层和约束层.
根据模态应变能法[10]，约束阻尼结构的第r阶的模态损耗因子为：
,
(4)
式中：ηr为约束阻尼材料的损耗因子;φr为约束阻尼结构的第r阶模态振型.
模态阻尼比和模态损耗因子的关系为[11]
.
(5)
如图1所示，当0≤η≤0.3时，模态损耗因子和模态阻尼比的关系可近似为：
η=2ζ.
(6)
通过以上分析，式(2)可转换为:
,
(7)
式中: ωi和ζi分别为第i阶圆频率和模态阻尼比；yi和qi分别为模态坐标下的结构位移和激励力.
图1 模态损耗因子η与模态阻尼比ζ关系
Fig.1 Relationship between loss factor η and damping ratio ζ
根据频率响应法，在外部激励f(t)在约束阻尼结构的第d自由度作用下，约束阻尼结构的第j自由度的稳态位移响应的幅值Xj可表示为：
‖
‖·
φd,rFd,
(8)
式中：N为模态叠加法所取阶数；φj,r、φd,r为第r阶模态中第j和d自由度的振型值；Fd表示施加在d自由度上简谐力激励的幅值.
设
+i2ζrωrωf)-1，稳态响应幅值关于设计变量的ρe灵敏度可表示为：
(9)
.
(10)
式中：RE(Dr)和IM(Dr)分别为Dr的实部和虚部.
在以往动力学拓扑优化的研究中，对
的求解，常将模态阻尼比看为常量.笔者考虑到约束阻尼结构在优化过程中，模态阻尼比有较大的变化[6]，将模态阻尼比视为定值，会导致灵敏度分析有较大的误差，或会出现错误的优化结果，因而，将模态阻尼比的灵敏度
引入到式(10)的求解中，提高灵敏度的计算精度.因而，式(9)求解的关键在于计算
和.振型灵敏度
的求解可采用不完备振型叠加法[12]，即
.
(11)
(12)
的求解如下式：
(13)
的求解公式如下：
.
(14)
笔者以约束阻尼结构的约束阻尼材料单元为设计变量，因而，根据SIMP插值模型对约束阻尼材料进行插值：
(15)
式中：p和q为惩罚因子，本文取值分别为1和3；
和
分别为单元e的密度值ρe=1时的刚度矩阵和质量矩阵
和
分别为单元e的黏弹性阻尼层的刚度矩阵和约束层的质量矩阵.
和
分别为单元e的黏弹性阻尼层的质量矩阵和约束层的质量矩阵.
约束阻尼结构总的质量矩阵和刚度矩阵可表示为：
(16)
则
(17)
将式(10)～(14)和式(17)代入式(9)可得考虑模态阻尼比灵敏度的目标函数灵敏度.为抑制拓扑优化过程中出现棋盘格现象，采用网格独立滤波技术[13]对目标函数的灵敏度滤波，即对目标函数灵敏度进行再分配，使单元灵敏度等于以单元形心为中心的指定半径区域内的所有单元灵敏度的线性加权.
MMA方法是一种高效的适合于求解具有复杂目标函数和多约束条件的优化求解器.笔者采用MMA方法对建立的拓扑优化模型进行求解，拓扑优化流程如图2所示.
图2 拓扑优化流程图
Fig. 2 Diagram for the topology optimization procedures
4.1 两端固支的约束阻尼板拓扑优化
约束阻尼矩形板的长和宽分别为0.4 m和0.2 m，短边的两端固定.基板为铝板，厚度为0.003 m，密度为2 800 kg/m3，弹性模量为70 GPa，泊松比为0.3.阻尼层厚度为0.000 5 m，密度为1 200 kg/m3，弹性模量为12 MPa，泊松比为0.495，阻尼材料的损耗因子为0.5，约束层厚度为0.001 m，密度为2 700 kg/m3，弹性模量为70 GPa，泊松比为0.3.
简谐载荷作用于约束阻尼矩形板中心位置，幅值为100 N，分别以第一阶和第三阶共振频率处的垂向共振位移最小化为优化目标，体积分数为0.5.优化的拓扑构型分别为图3和图4，图中黑色为粘贴约束阻尼材料位置.
图3 拓扑构型(一阶)
Fig.3 Optimal distribution of damping material (the first modal)
图4 拓扑构型(三阶)
Fig.4 Optimal distribution of damping material (The third modal)
图5为一阶共振位移最小化为优化目标的体积分数和优化目标值的迭代历程.从图5可以看出,体积分数在14次迭代后保持固定值0.5；经过120次迭代，优化目标值由初始结构的0.027 m减小为0.008 1 m.图6为三阶共振位移最小化为优化目标的体积分数和优化目标值的迭代历程，从图中可以看出，体积分数在7次迭代后保持固定值0.5；经过120次迭代，优化目标值由初始结构的1.99×10-4m减小为1.47×10-4m.从图5和图6可以看出，以一阶和三阶共振位移最小化为优化目标，优化的约束阻尼结构比初始约束阻尼结构在优化目标点处的共振位移响应分别减小了70%和26%，说明提出的约束阻尼结构优化算法的正确性和有效性.
图5 体积分数和优化目标值的迭代历程(一阶)
Fig.5 Iteration history of optimization objective and volume fraction (the first modal)
图6 体积分数和优化目标值的迭代历程(三阶)
Fig.6 Iteration history of optimization objective and volume fraction (the third modal)
4.2 约束阻尼悬臂板的拓扑优化
图7所示的悬臂约束阻尼板结构，基板为铝板，其上覆盖约束阻尼材料.基板长为0.2 m，宽为0.1 m，厚度为0.001 5 m，密度为2 800 kg/m3，弹性模量为70 GPa，泊松比为0.3.约束阻尼材料为SOUNDCOAT公司的SOUNDFOIL TYPE D，阻尼层为黏弹性高分子聚合物，约束层为铝箔，阻尼层厚度为0.000 05 m，密度为1 200 kg/m3，弹性模量为12 MPa，泊松比为0.495，阻尼材料的损耗因子为0.5.约束层厚度为0.000 13 m，密度为2 700 kg/m3，弹性模量为70GPa，泊松比为0.3.左端固定，右端自由.
简谐载荷作用于右边界中心位置，幅值为1 N，激励频带分别为：1～180 Hz和181～300 Hz，频率间隔为0.6 Hz，以频带内激励点处垂向位移响应的和最小化为优化目标，体积分数为0.5.图8为1～180 Hz激励频带下的拓扑构型，图中黑色为粘贴约束阻尼材料位置.
图7 悬臂约束阻尼板
Fig.7 The cantilever constrained layer damping plate
图8 拓扑构型(激励频带 [1～180]Hz)
Fig.8 Optimal distribution of damping material (excitation frequency band [1～180]Hz)
图9 体积分数和优化目标值的迭代历程 (激励频带 [1～180]Hz)
Fig.9 Iteration history of optimization objective and volume fraction (excitation frequency band [1-180]Hz)
图9为激励频带1～180 Hz时，体积分数和优化目标值的迭代历程，体积分数在5次迭代后保持固定值0.5；经过50次迭代，优化目标值由初始结构的1.41 m减小为0.54 m.图10为180～300 Hz激励频带下的拓扑构型.图11为激励频带181～300 Hz时，体积分数和优化目标值的迭代历程，体积分数在8次迭代后保持固定值0.5；经过50次迭代，优化目标值由初始结构的0.058 m减小为0.042 m.在1～180 Hz和181～300 Hz两个频带的激励下，优化的约束阻尼结构比初始约束阻尼结构都在优化目标点处的位移响应的和分别减小了61.7%和27.6%.
图10 拓扑构型(激励频带181～300 Hz)
Fig.10 Optimal distribution of damping material (excitation frequency band 181～300 Hz)
图11 体积分数和优化目标值的迭代历程 (激励频带 181～300 Hz)
Fig.11 Iteration history of optimization objective and volume fraction(excitation frequency band 181～300 Hz)
图12为没有阻尼材料只有基板和约束层结构与两个频段优化结构的频率响应曲线对比.从图12可以看出，在优化的频段内优化结构比没有阻尼材料结构的振动响应有明显的降低，具有很好的减振效果，表明笔者提出的约束阻尼结构的优化算法对频带激励下约束阻尼结构的优化也是有效的.
图12 频率响应曲线对比
Fig.12 The comparison of FRF
(1) 基于实体各向同性材料惩罚模型(SIMP插值模型)，以约束阻尼结构位移响应为优化目标，约束阻尼材料使用量为约束条件，约束阻尼单元为设计变量，建立了约束阻尼结构位移响应拓扑优化模型.
(2) 考虑到在优化过程中，约束阻尼结构的模态阻尼比有较大的变化，将模态阻尼比灵敏度引入到目标函数的灵敏度分析中，并采用模态应变能法分析约束阻尼结构的模态阻尼比灵敏度.
(3) 采用MMA算法对建立的优化模型进行求解，编制了其优化流程，并对共振位移响应和频带激励下的位移响应和最小化为优化目标的约束阻尼结构进行优化，得到的优化构型的位移响应比初始结构都有较大幅度的减小，验证了笔者提出的优化算法的正确性和有效性.
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Abstract：The Solid Isotropic Material with Penalization (SIMP) was applied to establish the topology optimization model of constrained layer damping (CLD) structure. The minimum of displacement response was considered as the objective function and the volume fraction of constrained layer damping material as constrained conditions. The sensitivity of modal damping ratio was introduced in the sensitivity analysis of the objective function, making the sensitivity more accurate and sensible. The topology optimization model was solved by Method of Moving Asymptotes (MMA). The numerical examples demonstrated that the proposed dynamics optimization of CLD structure was of validity and effectiveness.
Key words：constrained layer damping; topology optimization; sensitivity; displacement response
收稿日期：2016-05-30；
修订日期：2016-09-19
基金项目：国家自然科学基金资助项目(51505433)；河南省高等学校重点科研项目 (16A460028)
文章编号：1671-6833(2017)03-0087-05
中图分类号：TB53
文献标志码：A
doi：10.13705/j.issn.1671-6833.2016.06.012